「歯並びが悪くても歯科衛生士になれるか」という点については、その程度や院長の考えにより様々です。
法律上は何の問題もないため、国家試験に合格すれば歯並びに関係なく免許の取得は出来ます。

求人票に「歯並びに問題のない方」と書かれているのは見たことがありませんが、矯正治療が必要なほど状態が悪くて患者さんに悪いイメージを与えそうなら、時間がかかってもきちんと治した方が今後のためになります。
歯を支えるブラケットは、歯の裏側から出来るものもあり、患者さんから見えませんので、器具を装着した状態での勤務も可能です。

歯科衛生士は患者さんの歯を見るのが仕事ですが、衛生士の口の中の状態も技術と同じくらい重要なポイントになります。
医療機関の面接の際、「歯の中の状態はどうですか？」と尋ねられる事はありませんが、治療の際には患者さんとの距離がかなり近くなりますので、特に口臭がある場合は原因を特定してきちんと治さないと、患者さんに不快感を与えます。
意外と自分では気づいていないケースも多いですが、患者さんの来院減少へと繋がり、経営問題に発展する可能性もありますので、スタッフ同士でチェックするなどしてきちんと把握しておきたいものです。