歯科衛生士の登録番号を保健所が教えてくれるかということですが、歯科衛生士の免許は保健所では取り扱う免許に含まれていません。
ですから保健所に連絡してもあなたの登録番号はわからないはずです。

歯科衛生士の免許登録の事務は、一般財団法人 歯科医療振興財団という厚生労働省に指定された機関が行っています。
免許証を紛失した場合は、登録番号の確認をするのではなく免許証の再交付をしてください。歯科医療振興財団から所定の請求用紙で申請に必要な書類を取り寄せましょう。

そして申請書類に必要事項を記入して提出してください。免許証の再交付には手数料もかかるので、申請書類と手数料を納付すれば紛失した免許証を再発行することができます。

免許証は歯科衛生士として働く上で、必ず必要で資格の証明として所持しているべきものなのですからこの機会にきちんと再交付してもらって下さい。
求人に応募する際などは登録番号だけでなく、免許証の提出が必要な場合もありますよね。

再交付にはお金も手間もけっこうかかるので、今後は二度と紛失などしないようしっかり免許証の管理をしてくださいね。